Solução Da Equação Diferencial: 2x²y'' + 6xy' + 2y = 0

E aí, pessoal! Tudo tranquilo? Hoje vamos mergulhar de cabeça no mundo das equações diferenciais e desvendar a solução geral da seguinte equação: 2x²y" + 6xy' + 2y = 0, com a restrição de que x > 0. Preparem-se para uma jornada emocionante pela matemática, cheia de reviravoltas e insights incríveis! Vamos nessa?

Entendendo a Equação Diferencial de Cauchy-Euler

Antes de partirmos para a resolução propriamente dita, é fundamental que a gente entenda o tipo de equação que temos em mãos. A equação 2x²y" + 6xy' + 2y = 0 é um exemplo clássico de uma equação diferencial de Cauchy-Euler, também conhecida como equação equidimensional. Mas o que torna essa equação tão especial? Vamos explorar um pouco mais!

Características Marcantes

As equações de Cauchy-Euler possuem uma forma geral bem definida, que nos ajuda a identificá-las rapidamente. Essa forma é dada por:

ax²y" + bxy' + cy = 0

Onde a, b e c são constantes reais. Observem que os coeficientes dos termos envolvendo as derivadas de y são múltiplos de potências de x, o que confere a essa equação sua característica "equidimensional". Essa peculiaridade na estrutura da equação nos permite utilizar uma técnica de resolução específica, que veremos em detalhes mais adiante.

Por que Cauchy-Euler?

O nome "Cauchy-Euler" é uma homenagem a dois grandes matemáticos que contribuíram significativamente para o estudo e a resolução dessas equações: Augustin-Louis Cauchy e Leonhard Euler. Cauchy, um matemático francês do século XIX, foi um dos pioneiros na análise rigorosa do cálculo e das equações diferenciais. Euler, por sua vez, um matemático suíço do século XVIII, foi um dos mais prolíficos e influentes da história, com contribuições em diversas áreas da matemática e da física.

As equações de Cauchy-Euler aparecem em diversos problemas da física e da engenharia, como na análise de circuitos elétricos, na mecânica dos fluidos e na teoria da elasticidade. Por isso, compreender como resolvê-las é essencial para quem busca uma formação sólida nessas áreas.

Transformando a Equação: Uma Mudança de Variável Estratégica

Agora que já conhecemos as equações de Cauchy-Euler, vamos ao pulo do gato! A chave para resolver a equação 2x²y" + 6xy' + 2y = 0 é realizar uma mudança de variável inteligente. Essa transformação nos permitirá converter a equação original em uma equação com coeficientes constantes, que é muito mais fácil de resolver. Vamos ver como isso funciona!

A Substituição Mágica

A substituição que faremos é a seguinte:

x = e^t

Onde t é uma nova variável. Essa substituição parece um pouco mágica, não é? Mas acreditem, ela vai simplificar muito a nossa vida! Para entender o porquê, precisamos analisar como as derivadas de y se comportam sob essa transformação.

Derivadas em Nova Roupa

Usando a regra da cadeia, podemos expressar as derivadas de y em relação a x em termos das derivadas de y em relação a t. Vamos começar com a primeira derivada, y':

y' = dy/dx = (dy/dt) * (dt/dx)

Como x = e^t, temos que t = ln(x) e, portanto, dt/dx = 1/x. Assim:

y' = (dy/dt) * (1/x) = (dy/dt) * e^(-t)

Agora, vamos calcular a segunda derivada, y":

y" = d²y/dx² = d/dx (dy/dx) = d/dx [(dy/dt) * e^(-t)]

Novamente, usamos a regra da cadeia e a regra do produto:

y" = [d/dt ((dy/dt) * e^(-t))] * (dt/dx) = [ (d²y/dt²) * e^(-t) - (dy/dt) * e^(-t) ] * (1/x)

Substituindo x = e^t, obtemos:

y" = (d²y/dt² - dy/dt) * e^(-2t)

Ufa! Chegamos às expressões de y' e y" em termos de t. Agora, podemos substituir essas expressões na equação original e ver a mágica acontecer!

Resolvendo a Equação Transformada: Uma Nova Perspectiva

Com as derivadas expressas em termos da nova variável t, podemos finalmente substituir essas expressões na equação diferencial original 2x²y" + 6xy' + 2y = 0. Preparem-se para ver a equação se transformar em algo muito mais amigável!

A Substituição na Prática

Substituindo x = e^t, y' = (dy/dt) * e^(-t) e y" = (d²y/dt² - dy/dt) * e^(-2t) na equação original, obtemos:

2(e^t)² * [(d²y/dt² - dy/dt) * e^(-2t)] + 6(e^t) * [(dy/dt) * e^(-t)] + 2y = 0

Simplificando a expressão, chegamos a:

2(d²y/dt² - dy/dt) + 6(dy/dt) + 2y = 0

Dividindo tudo por 2, temos:

d²y/dt² + 2dy/dt + y = 0

Olha só que beleza! A equação original, com seus coeficientes variáveis, se transformou em uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Esse tipo de equação é muito mais fácil de resolver, e já existem métodos bem estabelecidos para isso.

A Equação Característica: O Segredo da Solução

Para resolver a equação d²y/dt² + 2dy/dt + y = 0, utilizamos um truque clássico: procuramos soluções da forma y = e^(rt), onde r é uma constante. Substituindo essa expressão na equação, obtemos a equação característica:

r² + 2r + 1 = 0

Essa é uma equação quadrática simples, que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara ou, neste caso, simplesmente fatorando:

(r + 1)² = 0

Isso nos dá uma raiz repetida: r = -1. E agora, o que fazemos com essa raiz?

Raízes Repetidas: Um Caso Especial

Quando a equação característica possui raízes repetidas, a solução geral da equação diferencial tem uma forma ligeiramente diferente. No caso da raiz r = -1, a solução geral é dada por:

y(t) = c1 * e^(-t) + c2 * t * e^(-t)

Onde c1 e c2 são constantes arbitrárias. Notem que, além do termo e^(-t), também temos um termo t * e^(-t). Esse termo adicional é crucial para garantir que tenhamos duas soluções linearmente independentes, que formam a base para a solução geral.

Voltando às Origens: A Solução em Termos de x

Chegamos a um ponto crucial da nossa jornada: encontramos a solução geral da equação diferencial em termos da variável t. Mas lembrem-se, a equação original estava em termos de x! Portanto, precisamos desfazer a mudança de variável e expressar a solução em termos de x. Vamos lá!

Desfazendo a Transformação

Lembram da nossa substituição mágica? Era x = e^t. Isso significa que t = ln(x). Agora, basta substituir essa expressão na solução que encontramos:

y(t) = c1 * e^(-t) + c2 * t * e^(-t)

y(x) = c1 * e^(-ln(x)) + c2 * ln(x) * e^(-ln(x))

Usando a propriedade e^(-ln(x)) = 1/x, simplificamos a expressão:

y(x) = c1 * (1/x) + c2 * ln(x) * (1/x)

Podemos reescrever a solução como:

y(x) = (c1 + c2 * ln(x)) / x

Essa é a solução geral da equação diferencial 2x²y" + 6xy' + 2y = 0 para x > 0! Ufa, que jornada!

Analisando as Alternativas: Qual é a Correta?

Agora que temos a solução geral em mãos, podemos analisar as alternativas apresentadas e identificar qual delas corresponde à nossa solução. As alternativas eram:

• A) y = ae^t + bxe, onde a e b são reais
• B) y = a ln(x²) + b/x, onde a e b são reais
• C) y = ar + a, onde a e b são reais
• D) y =

Comparando a nossa solução, y(x) = (c1 + c2 * ln(x)) / x, com as alternativas, podemos ver que a alternativa B) y = a ln(x²) + b/x é a que mais se assemelha. No entanto, precisamos fazer uma pequena manipulação para verificar se elas são realmente equivalentes.

Simplificando a Alternativa B

Usando a propriedade do logaritmo ln(x²) = 2ln(x), podemos reescrever a alternativa B como:

y = a * 2ln(x) + b/x = (2a * ln(x) + b) / x

Agora, comparem essa expressão com a nossa solução geral, y(x) = (c1 + c2 * ln(x)) / x. Vemos que elas têm a mesma forma! Basta fazer as seguintes identificações:

• c1 = b
• c2 = 2a

Portanto, a alternativa B) y = a ln(x²) + b/x é a solução correta da equação diferencial!

Conclusão: Uma Jornada Matemática Recompensadora

E assim, pessoal, chegamos ao fim da nossa jornada! Desvendamos a solução geral da equação diferencial 2x²y" + 6xy' + 2y = 0, utilizando uma mudança de variável inteligente e explorando as propriedades das equações de Cauchy-Euler. Vimos como a matemática pode ser fascinante e como diferentes técnicas podem nos levar à solução de problemas complexos.

Espero que tenham gostado dessa aventura matemática! Se tiverem alguma dúvida, deixem nos comentários. E lembrem-se, a matemática está em toda parte, basta abrir os olhos e a mente para enxergar suas maravilhas. Até a próxima!