Sistema Linear: Solução De A E B!

E aí, pessoal! Tudo bem com vocês? Hoje, vamos mergulhar no mundo da matemática para desvendar um sistema linear cheio de incógnitas. Preparem seus neurônios e vamos nessa!

O Desafio Matemático: Um Sistema Linear Misterioso

Nosso desafio é o seguinte sistema linear:

{ 9a - 3b = 18
{ 3a - b = k

Onde a e b são nossas incógnitas e k é um valor que vai influenciar nas soluções do sistema. Para desvendá-lo, vamos responder a três perguntas cruciais:

1. Qual a solução desse sistema quando k é igual a zero?
2. Qual valor k deve ter para que o sistema tenha infinitas soluções?
3. Qual é a solução geral do sistema?

Vamos resolver cada uma dessas questões passo a passo!

Questão 1: Solução com K = 0

Desvendando o Sistema com K Igual a Zero

Primeiramente, vamos abordar a solução do sistema quando k é igual a zero. Substituir k = 0 no sistema nos dá:

{ 9a - 3b = 18
{ 3a - b = 0

Para resolver esse sistema, podemos usar o método da substituição ou o método da eliminação. Vamos optar pelo método da substituição, que consiste em isolar uma variável em uma das equações e substituir na outra.

Na segunda equação, que é mais simples, podemos isolar b:

3a - b = 0
b = 3a

Agora, vamos substituir b na primeira equação:

9a - 3(3a) = 18
9a - 9a = 18
0 = 18

Opa! Chegamos a uma contradição: 0 = 18. Isso significa que, quando k é igual a zero, o sistema não tem solução. Em outras palavras, não existem valores para a e b que satisfaçam ambas as equações simultaneamente.

Conclusão: Para k = 0, o sistema linear não possui solução.

Por que a Contradição Acontece?

A contradição que encontramos revela algo importante sobre o sistema. As duas equações representam retas em um plano cartesiano. Quando um sistema não tem solução, significa que as retas são paralelas e nunca se cruzam. No nosso caso, as equações são:

1. 9a - 3b = 18
2. 3a - b = 0

Se reescrevermos a primeira equação dividindo tudo por 3, obtemos:

3a - b = 6

Agora, podemos ver claramente que as duas equações têm o mesmo coeficiente angular (o número que multiplica o a), mas coeficientes lineares diferentes (os termos independentes). Isso confirma que as retas são paralelas e, portanto, não há solução.

Questão 2: Infinitas Soluções

Encontrando o Valor de K para Infinitas Soluções

Agora, vamos descobrir qual valor k deve ter para que o sistema admita infinitas soluções. Para isso, as duas equações do sistema devem representar a mesma reta. Em outras palavras, uma equação deve ser um múltiplo da outra.

Vamos analisar novamente o sistema:

{ 9a - 3b = 18
{ 3a - b = k

Podemos simplificar a primeira equação dividindo todos os termos por 3:

3a - b = 6

Para que o sistema tenha infinitas soluções, a segunda equação também deve ser equivalente a 3a - b = 6. Comparando com a segunda equação original (3a - b = k), fica claro que k deve ser igual a 6.

Conclusão: Para que o sistema tenha infinitas soluções, k deve ser igual a 6.

O Que Significa Ter Infinitas Soluções?

Quando um sistema linear tem infinitas soluções, significa que as duas equações representam a mesma reta. Graficamente, isso quer dizer que as retas se sobrepõem completamente. Qualquer ponto que pertença a essa reta é uma solução para o sistema.

No nosso caso, quando k = 6, as duas equações são:

1. 9a - 3b = 18 (que simplifica para 3a - b = 6)
2. 3a - b = 6

Como podemos ver, ambas as equações são idênticas. Isso significa que qualquer par de valores (a, b) que satisfaça 3a - b = 6 é uma solução para o sistema. Por exemplo, (2, 0), (3, 3) e (0, -6) são algumas das infinitas soluções.

Questão 3: Solução Geral do Sistema

Desvendando a Solução Geral

Finalmente, vamos encontrar a solução geral do sistema. Para isso, precisamos considerar o caso em que o sistema tem uma única solução. Já vimos que, quando k = 6, o sistema tem infinitas soluções, e quando k = 0, não tem solução. Então, vamos analisar o caso em que k é diferente de 6.

Nosso sistema original é:

{ 9a - 3b = 18
{ 3a - b = k

Podemos simplificar a primeira equação dividindo por 3:

{ 3a - b = 6
{ 3a - b = k

Agora, vamos usar o método da eliminação. Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:

(3a - b) - (3a - b) = 6 - k
0 = 6 - k

Se k for diferente de 6, essa igualdade não faz sentido, o que significa que não há uma única solução. No entanto, se usarmos um método diferente, como a substituição, podemos encontrar uma forma de expressar a solução geral.

Isolando b na segunda equação:

b = 3a - k

Substituindo na primeira equação (simplificada):

3a - (3a - k) = 6
3a - 3a + k = 6
k = 6

Chegamos novamente à condição de infinitas soluções quando k = 6. Para encontrar a solução geral em termos de uma variável livre, vamos usar a equação 3a - b = 6 e expressar b em termos de a:

b = 3a - 6

Agora, podemos escrever a solução geral do sistema como um conjunto de pares ordenados (a, b), onde b = 3a - 6. Podemos expressar isso da seguinte forma:

Solução = {(a, 3a - 6) | a ∈ ℝ}

Isso significa que, para qualquer valor real de a, podemos encontrar um valor correspondente de b que satisfaz a equação. Por exemplo, se a = 0, então b = -6, e se a = 1, então b = -3. Esses são apenas alguns exemplos das infinitas soluções quando k = 6.

Conclusão: A solução geral do sistema, quando k = 6, é dada por {(a, 3a - 6) | a ∈ ℝ}.

Resumo das Soluções

Para recapitular, vamos resumir as soluções que encontramos:

• Quando k = 0: O sistema não tem solução.
• Quando k = 6: O sistema tem infinitas soluções, dadas por {(a, 3a - 6) | a ∈ ℝ}.
• Para outros valores de k: O sistema não tem uma única solução.

Considerações Finais

Sistemas lineares são ferramentas poderosas na matemática e têm aplicações em diversas áreas, como física, engenharia e economia. Compreender como resolver e interpretar as soluções de um sistema é fundamental para muitas aplicações práticas.

Espero que este guia detalhado tenha ajudado vocês a entenderem melhor como resolver sistemas lineares e interpretar suas soluções. Se tiverem mais dúvidas ou quiserem explorar outros tópicos de matemática, deixem seus comentários abaixo!